Исследование квадратного уравнения
автор Иконникова Наталья Евгеньевна
учитель математики СОШ №6
о. Александров
Пояснительная записка.
Функции вида y=ax2+bx+c (ax2+bx+c-квадратный трёхчлен), где а¹0, в школьном курсе математики придаётся большое значение. Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трёхчлена требуется от каждого абитуриента, так как квадратное уравнение с параметром часто включается в письменные работы и в тесты при поступлении в ВУЗы. Учащиеся не всегда умеют сознательно использовать информацию о свойствах квадратного трёхчлена при решении заданий, связанных с исследованием квадратного уравнения. К таким задачам относятся: задачи на применение теоремы Виета, на соотношения между корнями квадратного уравнения, на взаимное расположение корней квадратного уравнения и решение квадратных уравнений с параметром.
Цель данного курса перейти от репродуктивного уровня усвоения материала (простого решения квадратных уравнений и задач на их составление) к творческому. Научить применять знания свойств квадратного трёхчлена при выполнении нестандартных заданий. При решении таких задач школьники учатся мыслить логически, творчески. Это хороший материал для учебно-исследовательской работы, что является пропедевтикой научно-исследовательской работы.
В результате изучения курса учащиеся смогут творчески применять теорему Виета, решать задачи на исследование расположения корней квадратного уравнения и решать квадратные уравнения с параметром.
Курс рассчитан на 18 часов для учащихся 9 классов.
|
№ п/п |
Наименование темы. |
Часы. |
|
1. |
Квадратное уравнение и его корни. |
2 |
|
2. |
Теорема Виета. |
2 |
|
3. |
Существование корней квадратного уравнения. |
2 |
|
4. |
Расположение корней квадратного уравнения. |
4 |
|
5. |
Решение квадратных уравнений с параметром. |
2 |
|
6. |
Разные задачи. |
4 |
|
7. |
Зачёт. |
2 |
|
|
|
|
1.Квадратное уравнение и его корни. (2ч.)
Определение квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения. Понятие о решение задачи с параметром.
2.Теория Виета (2ч.)
Формулировка теоремы Виета для полного и приведённого квадратного уравнения.
Теорема, обратная теореме Виета. Решение задач на применение теоремы Виета и обратной ей.
3.Существование корней квадратного уравнения(2ч.)
Зависимость числа корней квадратного уравнения от дискриминанта.
Решение задач на количество корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра.
4.Расположение корней квадратного уравнения(4ч.)
Графическая характеристика расположения корней квадратного уравнения на числовой прямой по отношению к фиксированному числу. Работа с таблицей.
Решение задач.
Практикум по решению задач на расположение корней квадратного уравнения.
5.Решение квадратных уравнений с параметром (2ч.)
Что значит решить уравнение с параметром.
Решение уравнений.
6.Решение задач. Зачёт.(6ч.)
I. Квадратное уравнение и его корни
Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2+bх+с=0, где х-переменная, а, b, с - некоторые числа, а¹0. В зависимости от дискриминанта D=b2-4ac квадратное уравнение может иметь два корня (D>0), один корень (D=0) и не иметь корней (D<0). При D>0 корни уравнения могут быть найдены по формуле
-b±ÖD
2а
Если в квадратном уравнении коэффициент b заменить на 2к, то формулу корней квадратного уравнения можно записать в другом виде:
-k±ÖD/4
а
Квадратное
уравнение, у которого а=1, называют приведенным и записывают в виде х2+рх+q=0.
О квадратном уравнении, имеющем единственный корень, иногда говорят, что оно
имеет корень двойной кратности или оно имеет два равных корня.
Примеры.
а) 3х2+х+2m-3=0
б) х2-2х+m-1=0
в) x2+(m+3)x+m-3=0
а) х2+(3а-5)х=2
б)2х2-(5а-3)х+1=0
в)4х2+(5а-1)х+3а+а=0
а)3х2+(к-1)х+1-к=0
б)х2-(3к+4к)х+9к-16=0
в)х2+(16-к)х+к+8=0
4. Найти корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, если
а) а + b + с = 0; б) а – b + с = 0.
Указание к решению: а) надо использовать то, что х = 1 является корнем данного уравнения .
5. При каком значении а уравнения х2 + ах + 1= 0 и х2 + х + а = 0 имеют общий корень? Ответ: а = -2.
6. Доказать, что при любом значении а уравнение ( а - 3 ) х2 + (а + 2) х + 1 = 0 имеет два корня.
II. Теорема Виета
Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения выражает теорема Виета, получившее своё название по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.
Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2+bх+с=0, тогда х1+х2=-b/a, х1х2=c/a. Для приведённого квадратного уравнения х2+рх+q=0, если х1 и х2 – корни этого уравнения, то х1+х2=-p, x1x2=q.
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2+рх+q=0.
Примеры:
1. Не вычисляя корней уравнения 3х2+8х-1=0 найти:
а) х12+х22 б)х1х23+х2х13
в)х1/х2+х2/х1 г)х14+х24.
1. Пусть х1 и х2 – корни уравнения 2х2-7х-3=0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
а) х1-2 и х2-2 б) 2х1+3 и 2х2+3
в)1/x1 и 1/x2 г) х1+1/х2 и х2+1/x1
2. При каком значении параметра а один из корней уравнения х2-3,75х+а=0 является квадратом другого?
Ответ: -125/8; 27/8.
3. При каком значении параметра а один из корней уравнения х2-(3а+2)х+а2=0 в девять раз больше другого?
Ответ: -6/19; 6.
4. Корни х1 и х2 уравнения х2+рх+12=0 обладают свойством х2-х1=1. Найти р.
Ответ: ± 7.
5. При каком значении параметра а уравнение х2+(а2+а-2)х+а=0 имеет корни, сумма которых равна 0?
Ответ: - 2.
6. При каком значении параметра а уравнение (а-1)х2+(2а+3)х+2+а=0 имеет корни одного знака?
Ответ: [- 2,125; -2) È (1;+¥).
7. При каком значении параметра а корни уравнения ах2+(2а-1)х+а-2=0 отрицательны и их сумма меньше –5?
Ответ: [- 0,25; 0).
8. При каком значении параметра р корни уравнения (р-2)х2+2рх+р+4=0 разных знаков и их сумма отрицательна?
Ответ: (- 4; 0).
III.Существование корней квадратного уравнения
Для того чтобы квадратное уравнение ах2+bх+с=0 имело корни необходимо и достаточно чтобы дискриминант уравнения был больше или равен нулю. Как правило, в случае необходимости доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем доказать его неотрицательность. Но существуют способы, которые основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а>0, то для доказательства того, что уравнение ах2+bx+с=0 имеет два решения, достаточно указать одну точку х0, в которой f(x0)=ах02+bx0+c<0. Чаще всего в качестве х0 берут 0 (даёт достаточное условие с<0), 1(условие а+b+с<0) или –1 (условие а-b+c<0).
Пример 1.
Доказать, что при любом а уравнение (а3-2а2)х2-(а3-а+2)х+а2+1=0 имеет решение.
Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через f(x). Сразу видно, что f(0)=a2+1>0 при любом а. Утверждение задачи будет доказано , если мы найдём х1, для которого f(x1)<0. Очевидно, что f(1)=-a2+a-1<0 при любом а. Легко сделать вывод, что наше уравнение всегда имеет решение
Пример 2.
При каких значениях параметра а уравнение х2-2Ö3(а-3)х +а2-3а+2=0 имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.
Решение. Если а2-3а+2<0, т.е. 1<а<2, то уравнение имеет корни разных знаков. В остальных случаях или корней нет, или они одного знака. Отдельно надо рассмотреть те случаи, когда корни равны или один из них равен 0. В случае положительности дискриминанта и свободного члена на основании теоремы Виета знаки обоих корней противоположны по знаку коэффициенту при х. Значит, для того чтобы было х1>0 и х2>0, необходимо и достаточно выполнения неравенств:
а2 –3а+2>0
а-3>0
D/4=2а2-15а+25>0 , откуда а>5.
Также рассматриваются другие случаи.
Ответ: если а<1 или 2<а<2,5, то х1<0, х2<0;
если а=1 или а=2, то х1<0, х2=0;
если 1<а<2, то х1<0, х2>0;
если а=2,5, то х1=х2<0;
если 2,5<а<5, то корней нет;
если а=5, х1=х2>0;
если а>5, х1>0, х2>0.
Пример 3.
При каких значениях параметра а уравнение а(а+3)х2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?
Комментарий к решению. Данное уравнение – квадратное, если а¹0, а¹3. Квадратное уравнение имеет более одного корня, если D/4=(а+3)2-а(а+3)(-3а-9)>0
Однако решение полученного неравенства не является окончательным решением задачи. Мы должны еще рассмотреть случай, когда исходное уравнение является линейным с бесконечным множеством решений. Проверка случаев а=0 и а=-3 позволяет обнаружить, что линейное уравнение имеет бесконечное множество решений при а=-3.
Ответ: {-3}È(-1/3;0)È(0;+¥)
Пример 4.
При каком значении параметра а уравнение (а-2)х2+(4-2а)х+3=0 имеет единственный корень?
Комментарий к решению. Если а=2, то уравнение превращается в линейное, которое не имеет корней. Если а¹0, то уравнение квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте. D=а2-7а+10=0 при а=2 или а=5. Значение а=2 исключается, т.к. противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.
Ответ: а=5.
Пример 5.
При каком значении параметра а уравнение (а-1)х2+(а+4)х+а+7=0 имеет единственное решение?
Ответ: 1;2;-22/3.
Пример 6.
При каком значении параметра а уравнение (2а-5)х2-2(а-1)х+3=0 имеет единственное решение?
Ответ: 5/2;4.
Пример 7.
При каком значении параметра а уравнение имеет единственное решение?
(х2-(3а-1)х+2а2-2)/(х2-3х-4)=0.
Ответ:-2;0,5.
IV. Расположение корней квадратного уравнения
Для решения задач этого пункта существует таблица (см. приложение), но нет необходимости заучивать её, надо понять принцип построения таблицы и уметь проводить необходимые рассуждения в конкретных задачах.
Пример 1.
При каком значении параметра а один корень уравнения х2-(3а+2)х+2а-1=0 больше 1, а другой меньше 1?
Решение. Решение легко получается на основании графического соображения. График функции у=х2-(3а+2)х+2а-1 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось х, причем отрезок [х1;х2] должен содержать внутри себя точку 1. Следовательно, значение квадратного трехчлена х2-(3а+2)х+2а-1 при х=1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство х1<1<х2.
Ответ: а>-2.
В общем случае для того, чтобы уравнение f(х)=ах2+вх+с=0 имело бы один корень меньше А, а другой больше А, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(A)<0.
Пример 2.
Найти все значения параметра а, при которых все корни уравнения (2-а)х2-3ах+2=0 больше 1/2.
Комментарий к решению. Если а = 2, то х = 2/3 (2/3 >1/2). Если а ¹ 2, то уравнение - квадратное. Введем обозначение f(x) = (2-а)х2-3ах+2, хв=3а/2(2-а), D=а(17а-16). Тогда для выполнения условия примера необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих условий: D³0, хв>1/2, (2-а)f(1/2)>0. Решая эту систему получим: 16/7£а<2.
Ответ: [16/17;2].
Пример 3.
При каких значениях параметра а уравнение (а-2)х2-2(а+3)х+4а=0 имеет 2 корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3.
Комментарий к решению. Так как речь идет о двух корнях, то
рассматриваемое уравнение должно быть квадратным, то есть а¹2.
Рассмотрим функцию
f(х)=
(а-2)х2-2(а+3)х+4а, (а¹2).
Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось Ох один
раз на интервале (-¥;2)
и один раз на интервале (3;+¥).
Для решения примера необходимо и достаточно решить систему неравенств:
(а-2)f(2)<0
(а-2)f(3)<0
Ответ: 2<а<5.
Пример 4.
При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х2-(3а+1)х-а-2=0 лежат в промежутке (-1;2)?
Комментарий к решению. Рассмотрим функцию f(х)= 4х2-(3а+1)х-а-2. Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось Ох внутри интервала (-1;2). Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись следующие условия:
D³0
-1<хв<2
f(-1)>0
f(2)>0 Ответ: (-3/2; 12/7).
Пример 5.
Найти все значения а, при которых ровно один корень уравнения х2+2ах+3а-2=0 удовлетворяет условию х<-1.
Ответ: а=2, а<1.
Пример 6.
Найти все значения а, при которых уравнение х2-6х+а=0 имеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7).
Ответ: -7<a£5.
Пример 7.
Найти все значения а, при которых все корни уравнения х2+х+а=0 больше а.
Ответ: а<-2.
V.Решение квадратных уравнений с параметром
Решить уравнение с параметром – это значит установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра указывается множество корней соответствующего уравнения.
Пример 1.
Решить уравнение х2-вх+4=0.
Комментарий к решению. Дискриминант уравнения D=в2-16. Найдя промежутки знакопостоянства дискриминанта, получим ответ: если в<-4 или в>4, то х=(в±Öв2-16)/2; если в=±4, то х=в/2;если –4<b<4, то корней нет.
Пример 2.
Решить уравнение (а-2)х2-2ах+2а-3=0.
Комментарий к решению. Рассмотрим два случая: а=2 и а¹2. В первом случае исходное уравнение принимает вид –4х+1=0. Это линейное уравнение с одним корнем х=0,25. Во втором случае получим квадратное уравнение с дискриминантом D=-4(a-1)(a-6). Найдём промежутки знакопостоянства дискриминанта и его нулевые точки.
В результате решения получаем ответ:
если а<1, то корней нет;
если а=1, то х=-1;
если 1<a<2, то х1,2=(а±Ö(1-а)(а-6))/(a-2);
если а=2, то х=0,25;
если 2<a<6, то х1,2=(а±Ö(1-а)(а-6))/(a-2);
если а=6, то х=1,5;
если а>6, то корней нет.
Пример 3.
Решить уравнение (2а-1)х2-(3а+1)х+а-1=0.
Ответ: если а=0,5, то х=-0,2;
если –9-Ö84<a<-9+Ö84, то корней нет;
если а£-9-Ö84 или –9+Ö84£а<0,5 или а >0,5
то х=(3а+1+Öа2+18а-3)/(2а-1)
Пример 4.
Решить уравнение ах2-(1-2а)х+2-а=0.
Ответ: если а=0, то х=-2;
если а<-0,25, то корней нет;
если а=-0,25, то х=-3;
если –0,25<а<0 или а > 0, то х1,2=(1-2а±Ö4а+1)/2а.
Пример 5.
Решить уравнение (х2-5х+6)/(х-а)=0
Ответ: если а=2, то х=3;
если а=3, то х=2;
если а¹2,а¹3, то х=2 или х=3.
VI. Разные задачи
Пример 1.
Найти все значения а, при которых уравнения ах2+(3+4а)х+2а2+4а+3=0 имеет только целые корни.
Решение. Пусть а=0, тогда из уравнения следует, что 3х+3=0, х=-1. Поэтому а=0 удовлетворяет условию задачи. Пусть а¹0, тогда уравнение равносильно уравнению х2+(4+3/а)х +2а+4+3/а=0. Если х1 и х2 – целые корни нового уравнения, то -4-3/а и 2а+4+3/а – целые числа (теорема Виета), откуда следует, что их сумма, то есть 2а – целое число. Пусть 2а=n, где nÎZ, тогда а=n/2, 3/а=6/n, причем 6/n – целое число, то есть n может принимать значения из чисел ±1; ±2; ±3; ±6. Проверка показывает, что только при n=-1 и n=3 все корни исходного уравнения являются целыми числами.
Ответ: 0; -1/2; 3/2.
Пример 2.
Найти все значения а, при которых уравнение х2+(а+2)х+1-а=0 имеет 2 действительных корня х1 и х2 такие, что х1х2<0, |х1| <4, |х2| <4.
Решение. Обозначим f(х)= х2+(а+2)х+1-а и заметим, что если условия задачи выполняются, то f(-4)>0, f(4)>0, f(0)>0. Получили систему:
9-5а>0
3а+25>0
1-а<0 Решая систему, получаем 1<а<9/5.
Ответ: 1<а<9/5.
Пример 3.
Сколько корней меньше 1 имеет уравнение (1+а)х2-3ах+4а=0 в зависимости от а?
Ответ: если –1<а£0,5, то один корень меньше 1;
если –0,5<а£0, то оба корня меньше 1;
при других а таких корней нет.
Пример 4.
Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение:
1. ах2+½х-1½=0
Ответ: если а<-1/4, то два корня;
если а=-1/4, то три корня;
если –1/4<а<0, то четыре корня;
если а=0, то один корень;
если а>0, то корней нет.
2. х2+а½х-2½=0
Ответ: если а<-8, то четыре корня;
если а=-8, то три корня;
если –8<а<0, то два корня;
если а=0. то один корень;
если а>0, то корней нет.
3. х2+2½х-а½=5
Ответ :если а<-3 или а>3, то корней нет;
если а=±3, то один корень;
если –3<а<3, то два корня.
VII. Задачи к зачёту
1. При каких значениях параметра р ровно один из корней уравнения
2х2-рх+2р2-3р=0 равен нулю?
Ответ: р=1,5.
2. При каком значении параметра р корни уравнения 3х2+(р2-4р)х+р-1=0 равны по модулю, но противоположны по знаку?
Ответ: р=0.
3. При каком значении параметра а оба корня уравнения 2х2+(3а2-½а½)х-а3-3а=0 равны нулю?
Ответ: а=0.
4. Не вычисляя корней уравнения 2х2-5х-4=0 найти:
а) 1/х21+1/х22;
б) х1х24+х2х14;
в) х1/x23+x2/x13.
5. Пусть х1 и х2 – корни уравнения 4х2-6х-1=0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
а) х1х22 и х2х12;
б) 1/х21 и 1/х22;
в) х1/х2+1 и х2/х1+1;
6. В уравнении 5х2-ах+1=0 определить а так, чтобы разность корней равнялась единице.
Ответ: ±Ö5.
7. При каких значениях параметра а отношение корней уравнения х2-(а+3)х+6=0 равно 1,5?
Ответ: –8 ; 2.
8. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения (2а+1)х2+(а+1)х+а=0 положительна?
Ответ:[-1/7;1/2)
9. При каких значениях параметра а корни уравнения (а+1)х2+(2-а)х+а+6=0 положительны?
Ответ: [-10 ; -6)
10. При каких значениях параметра а корни уравнения (а-1)х2+(2а+3)х+2+а=0 имеют одинаковые знаки?
Ответ: [-2,125 ; -2) È (1;+µ).
11. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х2+(3а+4)х-3=0 лежат в промежутке (-2 ; 1).?
Ответ: (-5/2 ; 5/7).
12. При каких значениях параметра а уравнение (а-1)х2=(а+1) х-а имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0<х<3?
Ответ: (0;12/7); 1+2Ö3/3.
13. Решить уравнения при всех значениях параметра:
а) ах2-6х+1=0;
б) ах2=4;
в) х2-ах=0;
г) ах2+8=2х2+4а.
14. Решить уравнение (а-1)х2+2(2а+1)х+(4а+3)=0.
Ответ: если а<-4/5, то корней нет;
если а=1, то х=-7/6,
если а³-4/5 и а¹1, то х1,2=(-(2а+1)±Ö5а+4)/(a-1).
15. При каких значениях параметра а уравнение (а2-6а+8)х2+(а2-4)х+(10-3а-а2)=0 имеет более двух корней?
Ответ: а=2.
1. Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Алгебра 8. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва. «Просвещение». 2001год.
2. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8-9. Москва. «Просвещение». 2001год.
1. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10. Москва. «Просвещение». 1989.
2. Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по решению математических задач. Москва. «Просвещение». 1984.
3. Евсеева А.И. Уравнения с параметрами. Математика в школе. 2003 год №7
4. Шабунин М.И. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Математика в школе. 2003 №3
5. Мещерякова Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. Математика в школе. 2001 год №5
6. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М,С. Задачи с параметрами. Москва-Харьков. «Илекса», «Гимназия». 2002год.
